Fermats sidste trick

04-04-2021 19:58:04

Fermats sidste trick

Fermats sidste sætning er velkendt. Den udsiger at ligningen an + bn = cn ikke har nogen løsning for n > 2. Kendskabet til dette udsagn skyldes at han i en af sine bøger indføjede en håndskreven notits, hvis latinske ordlyd her gengives med oversættelser til engelsk og dansk. Desværre nedskrev han ikke det påståede bevis, i hvert fald er en sådan nedskrift aldrig blevet fundet. Derfor fremstod hans udsagn som ubevist, men dog efter al erfaring korrekt, indtil det i 1995 lykkedes Andrew Wiles at bevise at sætningen er sand; men hans omfangsrige redegørelse bygger på forudsætninger der ikke var kendt på Fermats tid. Derfor står det videnskabshistoriske spørgsmål tilbage: var Fermat genial eller offer for et selvbedrag? Her skal belyses nogle hidtil upåagtede særegenheder ved hans notits.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. It is impossible to separate a cube into two cubes, or a fourth power into two fourth powers, or in general, any power higher than the second, into two like powers. I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain. At dele en tredjepotens i to tredjepotenser, eller en fjerdepotens i to fjerdepotenser, og i det hele taget ud over andenpotenser at dele en potensopløftning i to af samme slags, er umuligt. Et ligefrem fantastisk bevis for denne ting, har jeg opdaget. Men det ville ikke kunne stå i denne smalle margen.
Begge oversættelser er korrekte eftersom de gengiver indholdet af den latinske tekst uden at tilføje eller fjerne noget.
Det kan undre at originalen er affattet på latin. Den er jo ikke beregnet på et lærd publikum, men kun på de folk som hans eksemplar måtte falde i hænderne på efter hans død, altså hans arvinger. Ergo kunne den lige så godt have været på fransk.
Selve den latinske formulering har også visse ejendommeligheder. Af dens 36 ord begynder de 12 med en vokal (AEIOV). Der er altså et meget nydeligt forhold mellem antallene af vokaliske og konsonantiske ord. Dette kunne sagtens skyldes en tilfældighed; men da nu teksten er udformet af en matematiker, ligger det mere naturligt for at antage at han bevidst har tilstræbt denne harmoni. Og derved falder andre ting i hak.
En afbildning af de 36 initialer viser at der i dem gemmer sig en indlejret sekundær meddelelse tilvejebragt ved hjælp af en teknik der har rødder helt tilbage i oldtidens Rom.

CAID CAQI DQ EGNII VQP IDENFED CRDMSDH ME NC

Visse af ordenes initialer kan aflæses om rummende gengivelser af velkendte latinske gloser: Det lettest gennemskuelige tilfælde er sekvensen IDENFED, som i baglæns rækkefølge gengiver stavelserne i verbalformen defendi, 1.pers.sing. af defendo 'forsvare' Her er altså klartekstens stavelsesgrænser bibeholdt i kodeteksten. Det samme gør sig gældende i de øvrige ord:

CAID
dica 'forkynd'. 2.pers.imp. af dico (1. konjugation)

CAQI
caci en form af cacus 'ond' med Q for samme lydværdi [k] som C.

EGNI en form af genius 'sjæl'
Meddelelsens syntaktiske struktur er ganske klar i omrids. Først et ytringsverbum, derefter selve ytringen, som indeholder et transitivt verbum med pronominalt objekt. En vanskelighed udgøres dog af de to resterende ord. De minder om hinanden fonetisk, idet de begge ender på –ii. Derved kunne fristes man til at tro at der foreligger kongruens; men det behøver ikke at være tilfældet. Begge ord kan være både singularis (genitiv) og pluralis (nominativ, vokativ). Glosen genii giver bedst mening hvis man opfatter den som vokativ, dvs. at ytringen retter sig til nogle 'sjæle' eller 'geniale personer' i den franske betydning af génie. Ordet caci står for noget meget negativt, og ytringen er altså henvendt til nogle mennesker som Fermat tager afstand fra, hvad enten han bruger caci som adjektiv ('ondskabsfulde') eller som genitiv af cacum ('det onde', 'ondskab', 'ondskabens genier').
Derigennem kan man indkredse verbet yderligere: det er præget af det franske verbum se défendre, som betyder 'at klare sig', fx i relation til noget besværligt: elle se défend très bien en allemand 'hun klarer sig fint på tysk'.
Det samlede indhold af Fermats kodebudskab er: 'I ondsindede mennesker, jeg har klaret mig!' Hans 36 ord lange latinske tekst ikke blot præsenterer hans nyfundne bevis, men karakteriserer den gennem den 5 ord lange tilføjelse også som et mesterstykke, det afgørende udslag af hans egen genialitet – i modsætning til de ondsindede andres. Dette trick siger noget om hans psykologiske habitus: han har kunnet lide at servere en omhyggeligt indpakket gåde for eftertiden. Og dér har man måske også forklaringen på den manglende nedskrift. Har han simpelthen villet drille sine matematikkolleger langt ud i fremtiden ved at holde en gulerod for næsen af dem?
Hos Singh: Fermat's last theorem (2002 (1997):42) læser man: "Det generte og tilbageholdende geni havde faktisk et ondskabsfuldt islæt, der i kombination med hans hemmelighedsfuldhed medførte at når han en sjælden gang brevvekslede med andre matematikere, skete det kun for at drille dem. Han kunne finde på at meddele sit nyeste teorem uden at ledsage oplysningen med et bevis. Så opfordrede han sine samtidige til at finde frem til beviset." (Min oversættelse).

Oldtidens brug af akrostiske meddelelser giver sig et velkendt udtryk i de versificerede resumeer (argumenta) der findes i Plautus' komedier. Her tre eksempler fra skuespillene Persa, Amphitruo og Pseudolus. Som følge af denne teknik bliver omfanget af resumeerne (antallet af verslinjer) identisk med antallet af bogstaver i komedietitlen.

Profecto domino suos amores Toxilus
Emit atque curat, leno ut emittat manu;
Raptamque ut emeret de praedone virginem
Subornata suadet sui parasiti filia.
Atque ita intricatum ludit potans Dordalum

Amore captus Alcumenas Iuppiter
Mutavit sese in formam eius coniugis,
Pro patria Amphitruo dum decernit cum hostibus.
Habitu Mercurius ei subservit Sosiae.
Is advenientis servum ac dominum frustra habet.
Turbas uxori ciet Amphitruo, atque invicem
Raptant pro moechis. Blepharo captus arbiter
Vter sit non quit Amphitruo decernere.
Omnem rem noscunt. geminos Alcumena enititur.

Praesentis numerat quindecim miles minas,
Simul consignat symbolum, ut Phoenicium
Ei det leno, qui eum cum relicuo adferat.
Venientem caculam intervortit symbolo,
Dicens Syrum se Ballionis, Pseudolus
Opemque erili ita tulit; nam Simmiae
Leno mulierem, quem is supposuit, tradidit.
Venit Harpax verus: res palam cognoscitur,
Senexque argentum, quod erat pactus, reddidit